В учебниках e определяют через натуральный логарифм, а логарифм — через e. Круг замкнулся, понятнее не стало. Здесь попробуем проще: e — это во сколько раз вырастет 1, если расти на 100% непрерывно и каждый заработанный кусочек сразу тоже пускать в рост.
Бактерия делится раз в сутки, деньги под 100% годовых удваиваются за год: 2ˣ = (1 + 100%)ˣ. Но тут весь рост случается рывком, в последний день. С деньгами так не обязательно: заработанная копейка может сразу начать приносить свои проценты. Разобьём год на части и будем начислять чаще — посмотрим, что выйдет.
Полоски начинаются с 2, поэтому хорошо видно: каждое новое дробление добавляет всё меньше. Выше e не получится — это потолок для непрерывного роста, примерно как скорость света в физике.
Исходный рубль — это мистер Синий. Он не меняется и каждый период отдаёт 1/n от себя — так растёт мистер Зелёный. Но Зелёный, пока растёт, тоже приносит проценты, и появляется Красный. Красный порождает Фиолетового, и дальше по цепочке. Нажмите «Проиграть» или пройдите по шагам вручную.
К концу года Зелёный всегда набирает ровно 1: Синий не меняется и каждый раз отдаёт одно и то же. Всё, что выше 2, — это рост на росте. При n → ∞ он доходит до 0,718…, и в сумме получается e = 1 + 1 + 0,718…
Рост выглядит как сложение (+1%), но на самом деле это умножение (×1,01). Если разбить 100% на сто шагов по 1%, получится 1,01¹⁰⁰ ≈ e. Ставка 50% — это всего 50 таких шагов, то есть половина: e0,5 = √e. Ставка 300% — триста шагов, e³. Отсюда и формула: рост = eставка.
Один квадратик — один шаг ×1,01. Сто квадратиков — одно e. Отрицательная ставка — это шаги вниз (×0,99), так устроен распад. Шаг можно брать и мельче, хоть 0,0001%, — ответ всё равно сойдётся к eставка.
Два года под 300% — это (e³)² = e⁶. В общем виде рост = er·t. Получается, eˣ можно читать двумя способами: «100% в течение x лет» или «x·100% за один год». Считается только общее число шагов по 1%. Быстро и коротко или медленно и долго — итог один и тот же. Попробуйте пресеты.
| n | (1 + 1/n)ⁿ | до e осталось |
|---|